已知一次函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，求实数λ的取值范围．

Question

已知一次函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b=x+3a，
故k=1，b=3a-1，
又∵f（a）=3，即a+3a-1=3，
解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x+2；
（2）∵g（x）=x•（x+2）+λ（x+2）+1=x²+（λ+2）x+2λ+1的图象是开口朝上，且以直线x=-(λ+2)/(2)为对称轴的抛物线，
若g（x）在（0，2）上具有单调性，
则-(λ+2)/(2)≤0，或-(λ+2)/(2)≥2，
解得：λ≤-6，或λ≥-2．