已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：x2+y2-6x+12y+20=0．（1）m∈R时，证明l与C总相交；（2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长．

Question

已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：x²+y²-6x+12y+20=0．
（1）m∈R时，证明l与C总相交；　
（2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长．

Answer 1

（1）将直线l变形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
可得出直线l恒过A（4，-3），
将圆C化为标准方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圆心C为（3，-6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d=√((4−3)2+(−3+6)2)=√(10)＜5=r，
∴点A在圆内，
则l与C总相交；
（2）∵直径AC所在直线方程的斜率为(−3+6)/(4−3)=3，
∴此时l的斜率为-(1)/(3)，
又2mx-y-8m-3=0变形得：y=2mx-8m-3，即斜率为2m，
∴2m=-(1)/(3)，即m=-(1)/(6)，
此时圆心距d=|AC|=√(10)，又半径r=5，
则l被C截得的弦长为2√(r2−d2)=2√(15)．