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P为椭圆x^2/3+y^2=1上任意一点,则P到直线x+y-5=0的最短距离
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P为椭圆x^2/3+y^2=1上任意一点,则P到直线x+y-5=0的最短距离
▼优质解答
答案和解析
由题意设椭圆上有一点P(x,y) 使得到直线x+y-5=0的距离最短
过点P做直线x+y-5=0的平行线l 由题知当两条直线间的距离最短时 则P点到x+y-5=0的距离最短
∴设直线l的方程为x+y+k=0 代入椭圆方程中 化简整理得4x^2+6kx+3k^2-1=0
∵l与椭圆相切 ∴△=0 即(6k)^2-4*4*(3k^2-1) 解得k=±2√2/3
所以直线l的方程为x+y±2√2/3=0 由平行线间的距离公式得
d=（15√2-4）/6（最小距离） d=（15√2+4）/6 (最大距离）
综上所述,点p到直线x+y-5=0的最短距离为（15√2-4）/6
过点P做直线x+y-5=0的平行线l 由题知当两条直线间的距离最短时 则P点到x+y-5=0的距离最短
∴设直线l的方程为x+y+k=0 代入椭圆方程中 化简整理得4x^2+6kx+3k^2-1=0
∵l与椭圆相切 ∴△=0 即(6k)^2-4*4*(3k^2-1) 解得k=±2√2/3
所以直线l的方程为x+y±2√2/3=0 由平行线间的距离公式得
d=（15√2-4）/6（最小距离） d=（15√2+4）/6 (最大距离）
综上所述,点p到直线x+y-5=0的最短距离为（15√2-4）/6
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