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(2014•徐州)如图,矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.(1)试说
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(2014•徐州)如图,矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.
(1)试说明四边形EFCG是矩形;
(2)当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不存在,说明理由;
②求点G移动路线的长.
(1)试说明四边形EFCG是矩形;
(2)当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不存在,说明理由;
②求点G移动路线的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,
∵CE为⊙O的直径,
∴∠CFE=∠CGE=90°.
∵EG⊥EF,
∴∠FEG=90°.
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°.
∴四边形EFCG是矩形.
(2)①存在.
连接OD,如图2①,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°.
∵点O是CE的中点,
∴OD=OC.
∴点D在⊙O上.
∵∠FCE=∠FDE,∠A=∠CFE=90°,
∴△CFE∽△DAB.
∴
=(
)2.
∵AD=4,AB=3,
∴BD=5,
S△CFE=(
)2•S△DAB
=
×
×3×4
=
.
∴S矩形EFCG=2S△CFE
=
.
∵四边形EFCG是矩形,
∴FC∥EG.
∴∠FCE=∠CEG.
∵∠GDC=∠CEG,∠FCE=∠FDE,
∴∠GDC=∠FDE.
∵∠FDE+∠CDB=90°,
∴∠GDC+∠CDB=90°.
∴∠GDB=90°
Ⅰ.当点E在点A(E′)处时,点F在点B(F′)处,点G在点D(G′)处,如图2①所示.
此时,CF=CB=4.
Ⅱ.当点F在点D(F″)处时,直径F″G″⊥BD,
如图2②所示,
此时⊙O与射线BD相切,CF=CD=3.
Ⅲ.当CF⊥BD时,CF最小,
如图2③所示.
S△BCD=
BC•CD=
BD•CF
∴4×3=5×CF
∴CF=
.
∴
≤CF≤4.
∵S矩形EFCG=
,
∴
×(
)2≤S矩形EFCG≤
×42.
∴
≤S矩形EFCG≤12.
∴矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为
.
②∵∠GDC=∠FDE=定值,点G的起点为D,终点为G″,如图2②所示,
∴点G的移动路线是线段DG″.
∵∠G″DC=∠BDA,∠DCG″=∠A=90°,
∴△DCG″∽△DAB.
∴
=
.
∴
∵CE为⊙O的直径,
∴∠CFE=∠CGE=90°.
∵EG⊥EF,
∴∠FEG=90°.
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°.
∴四边形EFCG是矩形.
(2)①存在.
连接OD,如图2①,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°.
∵点O是CE的中点,
∴OD=OC.
∴点D在⊙O上.
∵∠FCE=∠FDE,∠A=∠CFE=90°,
∴△CFE∽△DAB.
∴
S△CFE |
S△DAB |
CF |
DA |
∵AD=4,AB=3,
∴BD=5,
S△CFE=(
CF |
4 |
=
CF2 |
16 |
1 |
2 |
=
3CF2 |
8 |
∴S矩形EFCG=2S△CFE
=
3CF2 |
4 |
∵四边形EFCG是矩形,
∴FC∥EG.
∴∠FCE=∠CEG.
∵∠GDC=∠CEG,∠FCE=∠FDE,
∴∠GDC=∠FDE.
∵∠FDE+∠CDB=90°,
∴∠GDC+∠CDB=90°.
∴∠GDB=90°
Ⅰ.当点E在点A(E′)处时,点F在点B(F′)处,点G在点D(G′)处,如图2①所示.
此时,CF=CB=4.
Ⅱ.当点F在点D(F″)处时,直径F″G″⊥BD,
如图2②所示,
此时⊙O与射线BD相切,CF=CD=3.
Ⅲ.当CF⊥BD时,CF最小,
如图2③所示.
S△BCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴4×3=5×CF
∴CF=
12 |
5 |
∴
12 |
5 |
∵S矩形EFCG=
3CF2 |
4 |
∴
3 |
4 |
12 |
5 |
3 |
4 |
∴
108 |
25 |
∴矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为
108 |
25 |
②∵∠GDC=∠FDE=定值,点G的起点为D,终点为G″,如图2②所示,
∴点G的移动路线是线段DG″.
∵∠G″DC=∠BDA,∠DCG″=∠A=90°,
∴△DCG″∽△DAB.
∴
DC |
DA |
DG″ |
DB |
∴
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