如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．（1）求证：△PBQ是等腰直角三角形；

Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．

（1）求证：△PBQ是等腰直角三角形；
（2）若PQ²=PB²+PD²+1，求△PAB的面积．

Answer 1

（1）证明：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，
∵∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，

∠A=∠QCB

AB=CB

∠PBA=∠QBC

，
∴△PAB≌△QCB（ASA），
∴PB=QB，
∴△PBQ是等腰直角三角形；

（2） 设正方形的边长AB=a，PA=x，
∵△PAB≌△QCB，
∴QC=PA=x，
∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD-PA=a-x，
在Rt△PAB中，PB²=PA²+AB²=x²+a²，
∵PQ²=PB²+PD²+1，
∴（a-x）²+（a+x）²=x²+a²+（a-x）²+1，
解得：2ax=1，
∴ax=(1)/(2)，
∵△PAB的面积S=(1)/(2)PA•PB=(1)/(2)ax=(1)/(2)×(1)/(2)=(1)/(4)．