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我们把:“有一组邻角相等的凸四边形”叫做“等邻角四边形”.(1)任意写出你所学过的特殊四边形中是“等邻角四边形”的一种图形的名称;(2)在探究“等邻角四边形”性质时:①
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我们把:“有一组邻角相等的凸四边形”叫做“等邻角四边形”.
(1)任意写出你所学过的特殊四边形中是“等邻角四边形”的一种图形的名称;
(2)在探究“等邻角四边形”性质时:
①小明画了一个“等邻角四边形”ABCD(如图1),其中∠A=∠B,AD=BC,此时他发现AB∥DC,请你证明此结论;
②由此小明猜想:“对于任意等邻角四边形,当一组对边相等时,另一组对边就平行”,请你直接判断这个命题是真命题还是假命题;
(3)已知:在“等邻角四边形”ABCD中,∠A=90°,∠C=60°,AB=6,BC=10,请画出相应图形,并直接写出CD的长.
(1)任意写出你所学过的特殊四边形中是“等邻角四边形”的一种图形的名称;
(2)在探究“等邻角四边形”性质时:
①小明画了一个“等邻角四边形”ABCD(如图1),其中∠A=∠B,AD=BC,此时他发现AB∥DC,请你证明此结论;
②由此小明猜想:“对于任意等邻角四边形,当一组对边相等时,另一组对边就平行”,请你直接判断这个命题是真命题还是假命题;
(3)已知:在“等邻角四边形”ABCD中,∠A=90°,∠C=60°,AB=6,BC=10,请画出相应图形,并直接写出CD的长.
▼优质解答
答案和解析
解(1)矩形,
∵矩形的四个角都是直角,
根据“等邻角四边形”的定义,
得到矩形是“等邻角四边形”;
(2)①如图,
过点C作CE⊥AB,DF⊥AB,
∵∠DAB=∠CBA,
∴∠DAF=∠CBE,
∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠DFA=∠CEB=90°,
∵AD=BC,
∴△DFA≌△CEB,
∴DF=CE,
∵∠DFA=∠CEB=90°,
∴DF=EC,
∴四边形DFEC是平行四边形,
∴AB∥CD;
②假命题,
反例如图,
在等腰三角形的腰上取点D,E,使得DE=BC,四边形DBCE是等邻边四边形,没有对边平行.
(3)①∠D=∠A=90°,
如图,
作BE⊥DC,
∵∠D=∠A=∠BED=90°,
∴四边形ADEB是矩形,
∴DE=AB=6.
在Rt△BEC中,BC=10,∠C=60°,
∴CE=5,
∴CD=DE+CE=11,
②如图,∠A=∠B=90°
作CE⊥AD,
∵∠A=∠B=∠AEC=90°,
∴四边形ABCE是矩形,
∴AE=BC=10,CE=AB=6,
在Rt△CED中,∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°,
∴CD=4
,
③∠B=∠C=60°.
如图,延长AD,BC交于E
在Rt△ABE中,∠B=60°,AB=6,
∴BE=2AB=12,∠E=30°
∴CE=BE-BC=12-10=2,
∵∠BCD=60°,
∴∠CDE=∠CED=30°,
∴CD=CE=2,
④∠D=∠C=60°,
如图,延长DA,CB交于E,
∵∠D=∠C=60°,
∴∠E=60°,CD=CE,
在Rt△ABE中,∠E=60°,AB=6,
∴BE=4
,
∴CD=BC+BE=10+4
.
∵矩形的四个角都是直角,
根据“等邻角四边形”的定义,
得到矩形是“等邻角四边形”;
(2)①如图,
过点C作CE⊥AB,DF⊥AB,
∵∠DAB=∠CBA,
∴∠DAF=∠CBE,
∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠DFA=∠CEB=90°,
∵AD=BC,
∴△DFA≌△CEB,
∴DF=CE,
∵∠DFA=∠CEB=90°,
∴DF=EC,
∴四边形DFEC是平行四边形,
∴AB∥CD;
②假命题,
反例如图,
在等腰三角形的腰上取点D,E,使得DE=BC,四边形DBCE是等邻边四边形,没有对边平行.
(3)①∠D=∠A=90°,
如图,
作BE⊥DC,
∵∠D=∠A=∠BED=90°,
∴四边形ADEB是矩形,
∴DE=AB=6.
在Rt△BEC中,BC=10,∠C=60°,
∴CE=5,
∴CD=DE+CE=11,
②如图,∠A=∠B=90°
作CE⊥AD,
∵∠A=∠B=∠AEC=90°,
∴四边形ABCE是矩形,
∴AE=BC=10,CE=AB=6,
在Rt△CED中,∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°,
∴CD=4
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③∠B=∠C=60°.
如图,延长AD,BC交于E
在Rt△ABE中,∠B=60°,AB=6,
∴BE=2AB=12,∠E=30°
∴CE=BE-BC=12-10=2,
∵∠BCD=60°,
∴∠CDE=∠CED=30°,
∴CD=CE=2,
④∠D=∠C=60°,
如图,延长DA,CB交于E,
∵∠D=∠C=60°,
∴∠E=60°,CD=CE,
在Rt△ABE中,∠E=60°,AB=6,
∴BE=4
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∴CD=BC+BE=10+4
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