凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等．则四边形ABCD一定是（）A、正方形B、菱形C、等腰梯形D、矩形

Question

凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等．则四边形ABCD一定是（　　）

A、正方形

B、菱形

C、等腰梯形

D、矩形

Answer 1

分析：
根据每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等，可得S=AB?AD?AC…①，S=BA?BD?BC…②，S=CA?CB?CD…③，S=DA?DB?DC…④，然后由②相等④得（1）由①相等③得（2），再由（1）除以（2）可得AB=CD．即可判定四边形的形状．

解；以A点的角度看，S=AB?AD?AC…①以B点的角度看，S=BA?BD?BC…②以C点的角度看，S=CA?CB?CD…③以D点的角度看，S=DA?DB?DC…④由②、④得AB?BC=AD?CD…（1）由①、③得BC?CD=AB?AD…（2）由（1）÷（2）得，ABCD=CDAB，∴CD2=AB2，即CD=AB，同理可得：BC=AD，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．
点评：
此题主要考查等腰梯形的判定，解答此题的关键是利用每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等，列出各个等式，然后得出CD=AB，问题可解．