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凸四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于E,求证:E关于AB,BC,CD,DA的对称点共圆.
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凸四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于E,求证:E关于AB,BC,CD,DA的对称点共圆.
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答案和解析
证明:设点E关于边AB、BC、CD、DA的对称点分别为P、Q、R、S(如图),因AP=AE=AS,故A是△PES的外心,于是∠PSE=∠PAE=∠BAE.同理有∠ESR=∠EDC ∠PQE=∠ABE ∠EQR=∠ECD.这样,∠PSR+∠PQR=∠BAE+∠EBA+∠EDC+∠DCE=180° 故P、Q、R、S四点共圆.
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