桶内盛盐水100L,内含盐50g.现以3L/min的均匀速率注入浓度为2g/L的盐水（假设桶内盐水随时保持均匀）,同时又以2L/min的均匀速率使盐水流出,问30min后桶内含盐量是多少?

Question

桶内盛盐水100L,内含盐50g.现以3L/min的均匀速率注入浓度为2g/L的盐水（假设桶内盐水随时保持均匀）,同时又以2L/min的均匀速率使盐水流出,问30min后桶内含盐量是多少?

Answer 1

设S(t)为时刻t时桶内含盐的总量
则变化率S'(t)=注入盐的速度-流出盐的速度
∵注入盐的速度=2g/L*3L/min=6(g/min)
流出盐的速度=S(t)g/100L*2L/min=S(t)/50(g/min)
∴得微分方程S'(t)=6-S(t)/50,S(0)=50.(1)
先解齐次方程S'(t)+S(t)/50=0 ==>d(S(t))/S(t)=-dt/50
==>ln│S(t)│=-t/50+ln│C│ (C是积分常数)
==>S(t)=Ce^(-t/50)
于是,设微分方程(1)的解是S(t)=C(t)e^(-t/50) (C(t)是关于t的函数)
把它代入微分方程(1),得C'(t)=6e^(t/50)
==>C(t)=300e^(t/50)+C (C是积分常数)
∴S(t)=300+Ce^(-t/50)
∵S(0)=50
∴C=-250
∴S(t)=300-250e^(-t/50)
∵S(30)=300-250e^(-3/5)≈300-250*0.5488=162.8
∴30min后桶内含盐量是162.8g