已知椭圆，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆(c是椭圆的焦半距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．(1)若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；(2)

Question

已知椭圆，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆(c是椭圆的焦半距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．

(1)若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；
(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值(O是坐标原点)；
(3)若存在点P使得ΔPMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．____

Answer 1

【分析】(1)令椭圆mx²+ny²=1，得，由此能求出椭圆方程．
(2)直线，设点P(x₀，y₀)，点O，M，P，N所在的圆的方程为x²-x₀x+y²-y₀y=0，与圆作差，即有直线，因为点P(x₀，y₀)在直线AB上，所以，由此能求出的值．
(3)由直线AB与圆G：相离，知e⁴-6e²+4>0．因为0<e<1，所以，连接ON，OM，OP，若存在点P使ΔPMN为正三角形，则在RtΔOPN中，OP=2ON=2r=c，所以e⁴-3e²+1≤0．由此能求出椭圆离心率的取值范围．

(1)令椭圆mx²+ny²=1，其中，
得，所以，即椭圆为．…(3分)
(2)直线，

设点P(x₀，y₀)，则OP中点为，
所以点O，M，P，N所在的圆的方程为，
化简为x²-x₀x+y²-y₀y=0，…(5分)
与圆作差，即有直线，
因为点P(x₀，y₀)在直线AB上，所以，
所以，所以，
得，故定点，…(8分)
．…(9分)
(3)由直线AB与圆G：(c是椭圆的焦半距)相离，
则，即4a²b²>c²(a²+b²)，4a²(a²-c²)>c²(2a²-c²)，
得e⁴-6e²+4>0
因为0<e<1，所以，①…(11分)
连接ON，OM，OP，若存在点P使ΔPMN为正三角形，则在RtΔOPN中，OP=2ON=2r=c，
所以，a²b²≤c²(a²+b²)，a²(a²-c²)≤c²(2a²-c²)，得e⁴-3e²+1≤0
因为0<e<1，所以，②…(14分)
由①②，，
所以．…(15分)

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．