设函数F(X)=1/2-1/2SIN2X（1）求函数最小正周期（2）设函数G(x)对任意X属于R,有G(x+π/2）=G(x)且当X属于0,π/2]时G(x)=1/2-F(x)求G(x)在-π,0上的解析式

Question

设函数F(X)=1/2-1/2SIN2X（1）求函数最小正周期（2）设函数G(x)对任意X属于R,有G(x+π/2）=G(x)且当X属于【0,π/2]时G(x)=1/2-F(x)求G(x)在【-π,0】上的解析式

Answer 1

（1）：
F(X)=1/2-1/2sin2x
=-1/2sin2x+1/2 （化成F（x）=Asin（wx+φ）+t的形式,这里φ=0,w=2）
∴T=2π/|w|=2π/2=π
（2）：
当x∈【0,π/2】时
G（x）=1/2-F(x)=1/2-1/2+1/2sin2x
=1/2sin2x
=1/2（2sinxcosx） （二倍角公式）
=sinxcosx
∵x∈R时,均有G(x+π/2）=G(x)
∴①：x∈【-π,-π/2】时
0≤x+π≤π/2
∴G（x+π）=1/2-F(x+π) （这里x+π∈【0,π/2】,故用x+π代替x）
=1/2-1/2+sin（x+π）cos（x+π）
=-sinxcosx （三角函数的诱导公式）
②：当x∈【-π/2,0】时
0≤x+π/2≤π/2
∴G（x+π/2）=1/2-F(x+π/2)
=1/2-1/2+sin（x+π/2）cos（x+π/2）
=-sinxcosx
综上所述,当x∈【-π,0】时
G（x）=-sinxcosx
友情提醒：把握好三角函数的一般形式y=Asin（wx+φ）+t,对于第二问,要将【-π,0】中的x加上一个数使其在区间【0,π/2】上,这样才能带入G(x)=1/2-F(x).
学习愉快!