f(x)=4cos(wx-π/6)sinwx-cos(2wx+π),若f(x)在-3π/2,π/2上为增函数,求W的最大值求解

Question

f(x)=4cos(wx-π/6)sinwx-cos(2wx+π),若f(x)在【-3π/2,π/2】上为增函数,求W的最大值
求解

Answer 1

（1）f（x）=4cos（ωx-π/6）sinωx-cos（2ωx π） =4（√3/2cosωx 1/2sinωx）sinωx cos2ωx =2√3cosωxsinωx 1/2（sinωx）^2 （cosωx） ^2sinωx）^2 =√3sin2ωx 1, ∵-1≤sin2ωx≤1, ∴函数y=f（x）的值域是[1-√3,1 √3]
（2）∵y=sinx在每个区间[2kπ-π/2,2kπ π/2],k∈z上 为增函数, 令2kπ-π/2≤2ωx≤2kπ π/2,又ω＞0, ∴解不等式得 kπ/ω-π/4ω≤x≤kπ/ω π/4ω, 即f（x）=√3sin2ωx 1,（ω＞0）在每个闭区间[kπ/ω-π/4ω,kπ/ω π/4ω],k∈z上是增函数 又有题设f（x）在区间[-3π/2,π/2]上为增函数 ∴[-3π/2,π/2]∈[kπ/ω-π/4ω,kπ/ω π/4ω],对某个 k∈z成立, 于是有 -3π/2≥-π/4ω① π/2≤π/4ω② 解得ω≤1、6 ∴ω的最大值是1/6