（2011•北京模拟）设f（x）在区间[0，1]上连续，试证明存在ξ∈（0，1），使∫ξ0f（t）dt=（1-ξ）f（ξ）．

Question

（2011•北京模拟）设f（x）在区间[0，1]上连续，试证明存在ξ∈（0，1），使

∫

ξ 0

f（t）dt=（1-ξ）f（ξ）．

Answer 1

证明：令φ(x)＝

∫

x 0

f(t)dt−x

∫

x 0

f(t)dt，则有
φ（0）=φ（1）=0，
故φ（x）在[0，1]上满足罗尔定理，
从而可知，存在ξ∈（0，1）使得φ′（ξ）=0，
即：f(ξ)−

∫

ξ 0

f(t)dt−ξf(ξ)＝0
从而

∫

ξ 0

f(t)dt＝(1−ξ)f(ξ)．
为证明ξ的唯一性，用反证法．
设存在ξ₁＜ξ₂，ξ₁，ξ₂∈（0，1）使得

∫

ξ1 0

f(t)dt＝(1−ξ1)f(ξ1)，①

∫

ξ2 0

f(t)dt＝(1−ξ2)f(ξ2)．②
两式相减，①-②可得：

∫

ξ2 ξ1

f(t)dt＝(1−ξ2)f(ξ2)−f(ξ1)−(ξ2−ξ1)f(ξ1)．
由已知条件知左边为正，右边为负，矛盾，
所以结论成立．