设幂函数f（x）=（a-1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点（2，2）．（1）求a，k的值；（2）若函数h(x)＝−f(x)+2bf(x)+1−b在[0，1]上的最大值为2，求实数b的值．

Question

设幂函数f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点（√(2)，2）．
（1）求a，k的值；
（2）若函数h(x)＝−f(x)+2b√(f(x))+1−b在[0，1]上的最大值为2，求实数b的值．

Answer 1

（1）∵幂函数f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点（√(2)，2），
∴a-1=1，a=2．
(√(2))k＝2，∴k=2．
（2）由（1）知f（x）=x²，
∵h(x)＝−f(x)+2b√(f(x))+1−b，
∴h（x）=-x²+2bx+1-b=-（x-b）²+b²-b+1，x∈[0，1]，
当b≥1时，h_max=h（1）=b=2，
当0＜b＜1时，h_max=h（b）=b²-b+1=2，
∴b=(1±√(5))/(2)（舍）．
当b≤0时，
h_max=h（0）=1-b=2，
∴b=-1．
综上：b=2或b=-1．