已知函数f（x）=ax，g（x）=a2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为52．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）=g（x）-2mf（x），求当x∈[0，1]时，h

Question

已知函数f（x）=a^x，g（x）=a^2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为(5)/(2)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）=g（x）-2mf（x），求当x∈[0，1]时，h（x）的最小值H（m）．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）在[-1，1]上为单调函数，f（x）的最大值与最小值之和为a+a−1＝(5)/(2)，
∴a＝2或(1)/(2)．
（Ⅱ）h（x）=2^2x+m-2m•2^x．
即h（x）=（2^x）²-2m•2^x+m，
令t=2^x，
∵x∈[0，1]时，
∴t∈[1，2]，
h（x）=t²-2mt+m，对称轴为t=m
当0＜m＜1时，H（m）=h（1）=-m+1；
当1≤m≤2时，H（m）=h（m）=-m²+m；
当m＞2时，H（m）=h（2）=-3m+4．

综上所述，H(m)＝

−m+1 ，(0＜m＜1)

−m2+m， (1≤m≤2)

−3m+4，  (m＞2)

．