已知函数f（x）=ax2-ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1<x2）（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1+x2>4．

Question

已知函数f（x）=ax²-e^x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x₁，x₂（x₁<x₂）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x₁+x₂>4．

Answer 1

（1） ∵f（x）=ax²-e^x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点，
∴方程a=(ex)/(x2)有两个根，等价于y=a与(ex)/(x2)有两个交点．
令h（x）=(ex)/(x2)，则h′（x）=(ex(x-2))/(x3)，…（3分）
于是x∈（0，2）时，h′（x）<0，即h（x）在（0，2）上单调递减；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）>0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（2）=(e2)/(4)，
∴a的取值范围为（(e2)/(4)，+∞）．  …（5分）
（2）证明：∵x₁，x₂（x₁<x₂）是f（x）=ax²-e^x（a∈R）在（0，+∞）上的零点，
∴ax₁²=ex1，ax₂²=ex2，
两式相除可得（(x2)/(x1)）²=ex2-x1．  …（7分）
令(x2)/(x1)=t（t>1），①
上式变为t²=ex2-x1，即x₂-x₁=2lnt，②
联立①②解得：x₁=(2lnt)/(t-1)，x₂=(2tlnt)/(t-1)．  …（9分）
要证明x₁+x₂>4，
即证明(2lnt)/(t-1)+(2tlnt)/(t-1)>4，
即证明lnt+tlnt>2t-2．
令h（t）=lnt+tlnt-2t+2，则h′（t）=(1)/(t)+lnt-1． …（10分）
令y=(1)/(t)+lnt-1，y′=(t-1)/(t2)>0，
故y=(1)/(t)+lnt-1在（1，+∞）上单调递增，故y>0，即h′（t）>0，
故h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）>h（1）=0，
即lnt+tlnt>2t-2，得证．  …（12分）