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(2014•宿迁模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y=f(x)的两条不同的切线.(1)若函数f(x)为奇函数,且当x=1时f(x)有极小值为-4.(i)求a,b,c
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(2014•宿迁模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y=f(x)的两条不同的切线.
(1)若函数f(x)为奇函数,且当x=1时f(x)有极小值为-4.
(i)求a,b,c,d的值;
(ii)若直线l3亦与曲线y=f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围;
(2)若直线l1∥l2,直线l1与曲线y=f(x)切于点B且交曲线y=f(x)于点D,直线l2和与曲线y=f(x)切于点C且交曲线y=f(x)于点A,记点A,B,C,D的横坐标分别为xA,xB,xC,xD,求(xA-xB):(xB-xC):(xC-xD)的值.
(1)若函数f(x)为奇函数,且当x=1时f(x)有极小值为-4.
(i)求a,b,c,d的值;
(ii)若直线l3亦与曲线y=f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围;
(2)若直线l1∥l2,直线l1与曲线y=f(x)切于点B且交曲线y=f(x)于点D,直线l2和与曲线y=f(x)切于点C且交曲线y=f(x)于点A,记点A,B,C,D的横坐标分别为xA,xB,xC,xD,求(xA-xB):(xB-xC):(xC-xD)的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)(i)∵x∈R,f(x)为奇函数,
∴f(0)=d=0,f(-x)=-f(x),即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx,
∴b=0,
∴f(x)=ax3+cx,
则f′(x)=3ax2+c,
又当x=1时f(x)有极小值为-4,
∴
,即
,
解得:
,
即f(x)=2x3-6x,
经检验f(x)=2x3-6x满足题意.
∴a=2,c=-6,b=d=0;
(ii)设(x0,y0)为曲线y=f(x)上一点,由(i)得f′(x0)=6x02−6,
则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=(6x02−6)(x−x0)+y0,
即y=(6x02−6)x−4x03,显然过某一点的切线最多有三条;
又f′(-1)=0,f(-1)=4,
∴y=4是曲线y=f(x)的一条切线,且过(m,4);
设另两条切线切点分别为(x1,y1),(x2,y2),其中x1≠1,x2≠1且x1≠x2,
∴f(0)=d=0,f(-x)=-f(x),即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx,
∴b=0,
∴f(x)=ax3+cx,
则f′(x)=3ax2+c,
又当x=1时f(x)有极小值为-4,
∴
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解得:
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即f(x)=2x3-6x,
经检验f(x)=2x3-6x满足题意.
∴a=2,c=-6,b=d=0;
(ii)设(x0,y0)为曲线y=f(x)上一点,由(i)得f′(x0)=6x02−6,
则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=(6x02−6)(x−x0)+y0,
即y=(6x02−6)x−4x03,显然过某一点的切线最多有三条;
又f′(-1)=0,f(-1)=4,
∴y=4是曲线y=f(x)的一条切线,且过(m,4);
设另两条切线切点分别为(x1,y1),(x2,y2),其中x1≠1,x2≠1且x1≠x2,
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