已知a∈R，函数f（x）=ex-1-ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x>1时，f（x）>m（x-1）lnx，求实数m的取值范围．

Question

已知a∈R，函数f（x）=e^x-1-ax的图象与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x>1时，f（x）>m（x-1）lnx，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x-1-a，设切点为（x₀，0），（1分）
依题意，

f(x0)=0

f′(x0)=0

，解得

x0=1

a=1

（3分）
所以f′（x）=e^x-1-1．
当x<1时，f′（x）<0；当x>1时，f′（x）>0．
故f（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-m（x-1）lnx，x>0．
则g′（x）=e^x-1-m（lnx+(x-1)/(x)）-1，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x-1-m（(1)/(x)+(1)/(x2)），（6分）
（ⅰ）若m≤(1)/(2)，
因为当x>1时，e^x-1>1，m（(1)/(x)+(1)/(x2)）<1，所以h′（x）>0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．
又因为g′（1）=0，所以当x>1时，g′（x）>0，
从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，
而g（1）=0，所以g（x）>0，即f（x）>m（x-1）lnx成立．（9分）
（ⅱ）若m>(1)/(2)，
可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为h′（1）=1-2m<0，h′（1+ln（2m））>0，
所以存在x₁∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x₁）=0，
且当x∈（1，x₁）时，h′（x）<0，所以h（x）即g′（x）在（1，x₁）上单调递减，
又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x₁）时，g′（x）<0，
从而g（x）在（1，x₁）上单调递减，
而g（1）=0，所以当x∈（1，x₁）时，g（x）<0，即f（x）>m（x-1）lnx不成立．
纵上所述，k的取值范围是（-∞，(1)/(2)]．（12分）