如果关于x的方程sin2x-（2+a）sinx+2a=0在x∈[-π6，5π6]上有两个实数根，求实数a的取值范围．

Question

如果关于x的方程sin²x-（2+a）sinx+2a=0在x∈[-(π)/(6)，(5π)/(6)]上有两个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵x∈[-(π)/(6)，(5π)/(6)]，
∴当x∈[-(π)/(6)，(π)/(2)]时，
sinx∈[-(1)/(2)，1]，
x∈（(π)/(2)，(5π)/(6)]时，sinx∈[(1)/(2)，1）；
设sinx=t，
则t²-（2+a）t+2a=0；
∴当函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上有两个零点时，
∴

f(-(1)/(2))≥0

f((1)/(2))≥0

△>0

-(1)/(2)<(2+a)/(2)<(1)/(2)

，
即

a≥-(1)/(2)

a≥(1)/(2)

a≠2

-3<a<-1

，
∴不等式的解集为∅；
当函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[(1)/(2)，1]上有一个零点时，
f（(1)/(2)）•f（1）≤0，
解得(1)/(2)≤a≤1，满足题意；
综上，实数a的取值范围是{a|(1)/(2)≤a≤1}．