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已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx,(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)若函数g(x)=f(x)-log3m存在零点,求m的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx,(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数g(x)=f(x)-log3m存在零点,求m的取值范围.
(1)求k的值;
(2)若函数g(x)=f(x)-log3m存在零点,求m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为y=f(x)为偶函数,所以∀x∈R,f(-x)=f(x),
即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对于∀x∈R恒成立.
即2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=-2x恒成立
即(2k+2)x=0恒成立,
而x不恒为零,所以k=-1;
(2)函数g(x)=f(x)-log3m=log3(9x+1)-x-log3m
令log3(9x+1)-x-log3m=0,则方程log3
-x=0有实根
等价于32x-m•3x+1=0有实根
令3x=t,则t2-mt+1=0,且t>0.
由韦达定理,两根同号.由t>0可知,两根都大于0
所以可得不等式组
,解得:m≥2
即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对于∀x∈R恒成立.
即2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=-2x恒成立
即(2k+2)x=0恒成立,
而x不恒为零,所以k=-1;
(2)函数g(x)=f(x)-log3m=log3(9x+1)-x-log3m
令log3(9x+1)-x-log3m=0,则方程log3
9x+1 |
m |
等价于32x-m•3x+1=0有实根
令3x=t,则t2-mt+1=0,且t>0.
由韦达定理,两根同号.由t>0可知,两根都大于0
所以可得不等式组
|
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