已知函数f（x）=lnx-a（a∈R）与函数F(x)=x+2x有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e>2-a对于x>0的一切值恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx-a（a∈R）与函数F(x)=x+(2)/(x)有公共切线．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式xf（x）+e>2-a对于x>0的一切值恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=(1)/(x)，F′(x)=1-(2)/(x2)．
∵函数f（x）与F（x）有公共切线，∴函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．
当两函数图象相切时，设切点的横坐标为x₀（x₀>0），则f′(x0)=(1)/(x0)=F′(x0)=1-(2)/(x02)，
解得x₀=2或x₀=-1（舍去），
则f（2）=F（2），得a=ln2-3，
由此求出a≥ln2-3，即a的取值范围为[ln2-3，+∞）．
（Ⅱ）等价于xlnx+a+e-2-ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx+a+e-2-ax，
因为g'（x）=lnx+1-a，令g'（x）=0，得x=(ea)/(e)，

x	(0，(ea)/(e))	(ea)/(e)	((ea)/(e)，+∞)
g'（x）	-	0	+
g（x）		极小值

所以g（x）的最小值为g((ea)/(e))=(a-1)(ea)/(e)+a+e-2-a•(ea)/(e)=a+e-2-(ea)/(e)，
令t(x)=x+e-2-(ex)/(e)，因为t′(x)=1-(ex)/(e)，
令t'（x）=0，得x=1，且

x	（0，1）	1	（1，+∞）
t'（x）	+	0	-
t（x）		极大值

所以当a∈（0，1）时，g（x）的最小值t(a)>t(0)=e-2-(1)/(e)=(e(e-2)-1)/(e)>0，
当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为t(a)=ae-2-(ea)/(e)≥0=t（2），
所以a∈[1，2]．
综上得a的取值范围为（0，2]．