将函数f(x)=ln(2+x)展开成x的幂级数不同展开方法结果不一样?第一种:f'(x)=1/(2+x)=(1/2)*(1/(1+x/2))然后展开1/(1+x/2)之后乘以1/2再积分回到ln(2+x)的展开式第二种:ln(2+x)先化成ln((1/2)*(1/(1+x/2))=ln2+ln(1/(1+x

Question

将函数f(x)=ln(2+x)展开成x的幂级数不同展开方法结果不一样?
第一种:f'(x)=1/(2+x)=(1/2)*(1/(1+x/2)) 然后展开1/(1+x/2) 之后乘以1/2再积分回到ln(2+x)的展开式
第二种:ln(2+x)先化成ln((1/2)*(1/(1+x/2))=ln2+ln(1/(1+x/2)) 再对ln(1/(1+x/2))求导得1/(1+x/2)展开求积分回到ln(1/(1+x/2))的展开式再加上ln2即为所求展开式
但这样很明显第一种没有ln2项 这不是与展开式唯一矛盾了?

Answer 1

第一种做法：
f '(x)=1/(2+x)=(1/2)Σ(-1)ⁿ(x/2)ⁿ
两边从0到x积分得：
f(x)-f(0)=Σ[(-1)ⁿ/(n+1)](x/2)^(n+1) 你在做积分时漏了f(0)
f(x)=f(0)+Σ[(-1)ⁿ/(n+1)](x/2)^(n+1)
这里的f(0)就是ln2,被你丢了.
第二种做法中,由于你是对ln[1/(1+x/2)]做的展开,设该函数为g(x),由于g(0)刚好为0,因此你的这个错误被掩盖了.
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