设α1.α2.α3线性无关,且β1=α1-α2+2α3,β2=α2-α3,β3=2α1-α2+3α3.试用线性相关定义判别β1.β2.β3是否线性相关

Question

设α1.α2.α3线性无关,且β1=α1-α2+2α3,β2=α2-α3,β3=2α1-α2+3α3.试用线性相关定义判别β1.β2.β3是否线性相关

Answer 1

设x1β1＋x2β2＋x3β3＝0,把β1=α1-α2+2α3,β2=α2-α3,β3=2α1-α2+3α3代入,整理得
(x1+2x3)α1＋(-x1+x2-x3)α2＋(2x1-x2+3x3)α3＝0
因为α1.α2.α3线性无关,所以
x1+2x3＝0
-x1+x2-x3＝0
2x1-x2+3x3＝0
这个方程组的系数矩阵的秩是2,所以方程组有非零解,比如(2,1,-1)
则2β1+β2-β3＝0,所以β1.β2.β3线性相关