已知α∈[π2，3π2]，β∈[-π2，0]，且（α-π2）3-sinα-2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（α2+β）的值为（）A.0B.22C.12D.1

Question

已知α∈[

(π)/(2)，(3π)/(2)]，β∈[-(π)/(2)，0]，且（α-(π)/(2)）³-sinα-2=0，8β³+2cos²β+1=0，则sin（(α)/(2)+β）的值为（　　）

A. 0

B.

(√(2))/(2)

C.

(1)/(2)

D. 1

Answer 1

∵（α-(π)/(2)）³-sinα-2=0，
可得：（α-(π)/(2)）³-cos（α-(π)/(2)）-2=0，即（(π)/(2)-α）³+cos（(π)/(2)-α）+2=0
由8β³+2cos²β+1=0，
得（2β）³+cos2β+2=0，
∴可得f（x）=x³+cosx+2=0，
其x1=(π)/(2)-α，x₂=2β．
∵α∈[(π)/(2)，(3π)/(2)]，β∈[-(π)/(2)，0]，
∴(π)/(2)-α∈[-π，0]，2β∈[-π，0]
可知函数f（x）在x∈[-π，0]是单调增函数，方程x³+cosx+2=0只有一个解，
可得(π)/(2)-α=2β，即α+2β=(π)/(2)，
∴(α)/(2)+β=(π)/(4)，
那么sin（(α)/(2)+β）=sin(π)/(4)=(√(2))/(2)．
故选：B．