已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且1α+1β=-2．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P

Question

已知抛物线y=-mx²+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且(1)/(α)+(1)/(β)=-2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由题意可得：α，β是方程-mx²+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，
α+β=(4)/(m)，αβ=-2，
∵(1)/(α)+(1)/(β)=-2，
∴(α+β)/(αβ)=-2，即((4)/(m))/(-2)=-2，
解得：m=1，
故抛物线解析式为：y=-x²+4x+2；
（2）∵y=-x²+4x+2=-（x-2）²+6，
∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，
∴E点坐标为：（4，2），
P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，
∴PH=DG=4，
∴|y|=4，
∴当y=4时，-x²+4x+2=4，
解得：x₁=2+√(2)，x₂=2-√(2)，
当y=-4时，-x²+4x+2=-4，
解得：x₃=2+√(10)，x₄=2-√(10)，
无法得出以DE为对角线的平行四边形，
故P点的坐标为；（2-√(2)，4），（2+√(2)，4），（2-√(10)，-4），（2+√(10)，-4）．