试求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内接矩形面积最大时的矩形各边的长.用导数不用参数方程的办法,

Question

试求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内接矩形面积最大时的矩形各边的长.用导数不用参数方程的办法,

Answer 1

∵椭圆关于原点对称
∴内接矩形的对角顶点关于原点对称
设矩形的任一顶点为A(x,y),则其余顶点即可确定
分别为B(-x,y),C(-x,-y),D(x,-y)
并有 AB=2|x|,BC=2|y|
∴矩形面积S=AB*BC=4|xy|
即有 S²=16x²y²
求矩形面积的最大值即为求x²y²的最大值
∵点A(x,y)在椭圆x²/a²+y²/b²=1上
∴有 y²=b²(1-x²/a²)
∴S²=16x²*b²(1-x²/a²)=16b²x²-16b²/a²*x^4
对x求导可得
(S²)'=32b²x-64b²/a²*x³
S²的最大值存在,则有(S²)'=0存在
∴由32b²x-64b²/a²*x³=0可解得
x=±a/√2（另一解x=0舍弃）
y=±b/√2
∴AB=2|x|=√2a,BC=2|y|=√2b
此时,Smax=4|xy|=2ab
∴内接矩形面积最大时,矩形长为√2a,宽为√2b