曲线x^2/2+y^2/6=1的内接三角形PAB中,PA,PB的倾斜角互补,且∠xOP=60度.（1）求证直线AB的斜率为定值（2）求三角形PAB面积的最大值

Question

曲线x^2/2+y^2/6=1的内接三角形PAB中,PA,PB的倾斜角互补,且∠xOP=60度.（1）求证直线AB的斜率为定值
（2）求三角形PAB面积的最大值

Answer 1

设P(√2cosθ,√6sinθ)
由题意：
（√6sinθ）/(√2cosθ）=√3
θ=π/4
P(1,√3)
过AB的直线为：y=kx+b
A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆3x^2+y^2=6上
直线代入椭圆方程得：
(3+k^2)x^2+2kbx+b^2-6=0
由韦达定理得：
x1x2=(b^2-6)/(3+k^2) ,①
x1+x2=-2kb/(3+k^2) ,②
PA,PB的倾斜角互补
(y1-√3)/(x1-1)+(y2-√3)/(x2-1)=0
去分母得：
2kx1x2+(b-√3-k)(x1+x2)-2(b-√3)=0
把①,②代入化解得：
2√3*k^2+(2√3*b-12)k+6(√3-b)=0
即：k^2+(b-2√3)k+√3*(√3-b)=0
(k-√3)(k+b-√3)=0
k=√3 或k=√3-b
（2）
AB所在直线为：y=√3x+b ,(√3x-y+b =0)
P点到直线的距离d=|b|/2
把直线代入椭圆方程得：
6x^2+2√3*bx+b^2-6=0 ,用韦达定理
|x1-x2|^2=（12-b^2）/3
由弦长公式|AB|=2*√（12-b^2）/3
面积S=1/2|AB|*d=1/2*√[(12-b^2)b^2]/3
( [(12-b^2)b^2]/3全在根号下 ）
√(12-b^2)*b^2≤6
当且仅当b=±√6 时等式成立
max(S)=√3
当b=±√6 时,面积PAB有最大值√3
做得好累!希望你能有所收获,