如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠ABC=45°，点M在边AC上，点N在边BC上，△MCN与△MPN关于直线MN对称，P是AB上的点．（1）当点P是边AB的中点时，求证：PAPB＝CMCN；（2）当点P不是边AB

Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠ABC=45°，点M在边AC上，点N在边BC上，△MCN与△MPN关于直线MN对称，P是AB上的点．
（1）当点P是边AB的中点时，求证：(PA)/(PB)＝(CM)/(CN)；
（2）当点P不是边AB的中点时，(PA)/(PB)＝(CM)/(CN)是否仍然成立？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：连接CP，依据题意得折痕MN⊥CP．
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB．
∴MN∥AB，
∴(CM)/(CN)＝(AC)/(BC)＝1．
∴(PA)/(PB)＝(CM)/(CN)．


（2）当点P不是斜边AB的中点时，(PA)/(PB)＝(CM)/(CN)仍然成立．
证明如下：
连接CP，则MN⊥CP．作PE⊥AC于E．
∵∠ACB=90°，
∴PE∥BC，
∴(PA)/(PB)＝(AE)/(EC)．
又AC=BC，∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=PE．
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴Rt△MCN∽Rt△PEC，
∴(CM)/(PE)＝(CN)/(EC)．
∴(CM)/(CN)＝(PE)/(EC)＝(AE)/(EC)．
∴(PA)/(PB)＝(CM)/(CN)．