半圆内接四边形ABCD,一边在直径上,其他三边和圆相切,可外接,求证：直径边=非对边之和

Question

半圆内接四边形ABCD,一边在直径上,其他三边和圆相切,可外接,求证：直径边=非对边之和

Answer 1

在半圆圆O中,线段AC,AB,BD,分别切半圆于点E,F,M.求证：AC＋BD＝CD
法1.在CD截取DG=AD连接AO,BO,AG,BG
注意：OA OB分别平分角A,B这个好证
AGD=GAD=(180-D)/2=1/2CBA(ABCD内接于圆,对角之和180)=OBA（前边已说OB角平分线）
故AOGB四点共圆
故BGC=BAO=1/2BAD=1/2(180-C)=1/2(BGC+CBG)外角关系
化简BGC=1/2(BGC+CBG) BGC=CBG
故BC=CG 得证
法2.三角函数
连接OE,OB,OF,OA,OM
CE=R*cotC AE=R*cotA/2 DM=R*cotD BM=R*cotB/2 OC=R/sinC OD=R/sinD
OC-CE=R/sinC - R*cotC =R((1-cosC)/sinC)=RtanC/2
四边形ABCD内切于圆 ,B+C=180
OC-CE=RtanC/2=Rtan(180-B)/2=Rtan(90-B/2)=R*cotB/2=BM
即OC-CE=BM 同理OD-DM=AE
相加OC+OD=CE+BM+DM+AE
即AC＋BD＝CD