如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，（1）求证：sinθ＝2Skl；（2）试用k、l

Question

如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，
（1）求证：sinθ＝(2S)/(kl)；
（2）试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：S=S_△EFG+S_△EHG，
=S_△EOF+S_△GOF+S_△EOH+S_△GOH，
=(1)/(2)EO•0F•sinθ+(1)/(2)GO•0F•sin(180°-θ)
+(1)/(2)EO•OH•sin(180°-θ)+(1)/(2)GO•OH•sinθ
=(1)/(2)EG•OF•sinθ+(1)/(2)EG•OH•sinθ
=(1)/(2)EG•FH•sinθ=(1)/(2)kl•sinθ
所以sinθ=(2S)/(kl)；
（2） 过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a，PQ=b，QR=c，
则b=√(k2 -a2)， c=√(l2 -a2)，
由S_△AEH=S_△TEH，
S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH
得S_ABCD+S_PQRT=2S，
∴a2+bc=2S， 即a2+√(k2-a2)•√(l2-a2)=2S，
∴（k²+l²-4S）a²=k²l²-4S²，
由（1）知kl=(2S)/(sinθ)>2S， 所以k2+l2≥2kl>4S，
故SABCD=a2=(k2l2-4S2)/(k2+l2-4S)．