（2014•通州区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径OB=8，点C是半圆上一点，∠COA=60°，二次函数y=a（x-h）2+k的图象经过点A、B、C．动点P和点Q同时从点O出发，点

Question

（2014•通州区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径OB=8，点C是半圆上一点，∠COA=60°，二次函数y=a（x-h）²+k的图象经过点A、B、C．动点P和点Q同时从点O出发，点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C，点Q以每秒两个单位的速度在OB上运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动．点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D、P、Q，设点P的运动时间为t秒，△DPQ的面积为y．

（1）求二次函数y=a（x-h）²+k的表达式；
（2）当∠DQP=120°时，直接写出点P的坐标；
（3）在点P和点Q运动的过程中，△DPQ的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t值和△DPQ面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接AC，
∵A为半圆的圆心，OB=8，
∴AC=AO=4，
∵∠COA=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴C(2，2√(3))，
易知A（4，0），B（8，0）
∴二次函数图象的对称轴为x=6，
将点A（4，0），C(2，2√(3))分别代入y=a（x-6）²+k，
解得：a＝(√(3))/(6)，
∴y＝(√(3))/(6)(x−6)2−(2√(3))/(3)．

（2）过P作PH⊥OA于H，
∵∠CAO=60°，
∴∠CAB=120°
∵∠DQP=120°，
∴∠CAB=∠PQA，
∴Q和A重合，
∴P(1，√(3))．

（3）△DPQ的面积存在最大值，理由如下：
连接BC、DB，延长DB、PQ交于点E，再连接CD，
∵OP=t，OQ=2t，
∵OC=4，OB=8，
∴(OP)/(OC)＝(OQ)/(OB)，
∵∠POQ=∠COB，
∴△OPQ∽△OCB，
∴∠OPQ=∠OCB，
∵OB为半圆的直径，
∴∠OCB=90°，
∴∠OPQ=90°，
在Rt△OPQ中，PQ=

作业帮用户 2016-11-22

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