如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为174．（1）求抛物线C的

Question

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为(17)/(4)． 
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

Answer 1

（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为4+(p)/(2)＝(17)/(4)，
∴p=(1)/(2)，即抛物线C的方程为y²=x．
（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∴(yH−y1)/(xH−x1)＝−(yH−y2)/(xH−x2)，
∴(yH−y1)/(y2H−y21)＝−(yH−y2)/(y2H−y22)，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．
kEF＝(y2−y1)/(x2−x1)=(y2−y1)/(y22−y21)=(1)/(y1+y2)＝−(1)/(4)．