在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，且与y轴相切，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆x225+y2b2＝1(b＞0)的离心率为45，且左右焦点为F1，F2，试探究在圆C上

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，且与y轴相切，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆(x2)/(25)+(y2)/(b2)＝1(b＞0)的离心率为(4)/(5)，且左右焦点为F₁，F₂，试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF₁F₂为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的P点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）

Answer 1

（Ⅰ）∵圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，
∴可设圆的方程为（x-a）²+y²=16，（a＞0）
∵圆与y轴相切，
∴a=4，
∴圆的方程为：（x-4）²+y²=16．
（Ⅱ）∵椭圆(x2)/(25)+(y2)/(b2)＝1(b＞0)的离心率为(4)/(5)，
∴e＝(c)/(a)＝(√(25−b2))/(5)＝(4)/(5)，
解得：b=3
∴c＝√(a2−b2)＝4，
∴F₁（-4，0），F₂（4，0）
∴F₂（4，0）恰为圆心C．
①过F₂作x轴的垂线与圆交与两点P₁，P₂，
则∠P₁F₂F₁=∠P₂F₂F₁=90°，
符合题意；
②过F₁作圆的切线，分别与圆切于点P₃，P₄，
连接CP₁，CP₂，则∠F₁P₁F₂=∠F₁P₂F₂=90°．符合题意．
综上，圆C上存在4个点P，使得△PF₁F₂为直角三角形．