计算∫∫(D)x^2ydxdy,其中D由双曲线x^2-y^2=1及直线y=0,y=1所围成的平面区域

Question

计算∫∫(D)x^2ydxdy,其中D由双曲线x^2-y^2=1及直线y=0,y=1所围成的平面区域

Answer 1

这题我怎么记得前几天刚答过呢,
先只考虑第一象限内的积分,根据积分区域的特点应先对x积分,平行于x轴作一条直线穿过积分区域,则该直线由x=0穿人积分区域再由x=(y^2+1)^(1/2)穿出,所以x的积分限为0到(y^2+1)^(1/2),y的积分限为0到1.积分=∫ydy∫x^2dx=(1/3)∫y(y^2+1)^(3/2)dy=(1/6)∫(y^2+1)^(3/2)d(y^2+1)=(1/15)(y^2+1)^(5/2)=[2^(5/2)-1]/15.
由于积分区域关于y轴对称,被积函数x^2y是关于x 的偶函数,因此原积分=2*[2^(5/2)-1]/15]