已知定点A(4,0)到等轴双曲线x^2-y^2=a^2(a大于0)上点最近的距离为根号5,求方程和P点（到A的距离的点）

Question

已知定点A(4,0)到等轴双曲线x^2-y^2=a^2(a大于0)上点最近的距离为根号5,求方程和P点（到A的距离的点）

Answer 1

设 P（x,y）是双曲线上一点,
则 |PA|^2=(x-4)^2+(y-0)^2
=(x-4)^2+(x^2-a^2)
=x^2-8x+16+x^2-a^2
=2x^2-8x+16-a^2
=2(x-2)^2+8-a^2 ,
根据已知,当 x=2 时,8-a^2=5 ,
解得 a=√3 ,因此双曲线方程为 x^2-y^2=3 .
将 x=2 代入双曲线方程,可解得 y^2=1 ,
因此 P 坐标为（2,-1）或（2,1）.