如图，点B（3，3）在双曲线y=kx（x>0）上，点D在双曲线y=-4x（x<0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．（1）求k的值；（2）求点A的坐标；（3

Question

如图，点B（3，3）在双曲线y=(k)/(x)（x>0）上，点D在双曲线y=-(4)/(x)（x<0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．

（1）求k的值；
（2）求点A的坐标；
（3）在（1）问的情况下，是否存在x轴上的点M和反比例函数y=(k)/(x)（x>0）图象上的点N，使得四边形MCNB是平行四边形？如果存在，请求出点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点B（3，3）在双曲线y=(k)/(x)（x>0）上，
∴3=(k)/(3)，
∴k=9；
（2）分别过B、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠FDA+∠DAF=∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠FDA=∠BAE，
在△ABE和△DAF中

∠BAE=∠FDA

∠BEA=∠DFA

AB=AD

∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵B（3，3），
∴BE=OE=AF=3，
∴FO=AE=DF，
∴可设D点坐标为（x，-x）（x<0），
∵点D在双曲线y=-(4)/(x)（x<0）上，
∴-x²=-4，解得x=2（舍去）或x=-2，
∴D（-2，2），
∴OF=2，
∴OA=AF-OF=3-2=1，
∴A（1，0）；
（3）∵B（3，3），D（-2，2），
∴BD=√([3-(-2)]2+(3-2)2)=√(26)，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD=√(26)，
∴OA²+OC²=26，即1²+OC²=26，解得OC=5，
∴C（0，5），
设BC的中点为H，则H（(3)/(2)，4），
∵四边形MCNB为平行四边形，
∴MN的中点也为H，
∵M在x轴上，
∴可设M（t，0），N（m，n），
则t+m=2×(3)/(2)=3，n=8，
∴N（3-t，8），
∵点N在反比例函数y=(9)/(x)（x>0）上，
∴8（3-t）=9，解得t=(15)/(8)，
∴M（(15)/(8)，0），N（(9)/(8)，8），即存在满足条件的M、N．