（2014•滨海县模拟）已知抛物线y=ax2-2ax-4与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求抛物线的对称轴及表达式；（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB

Question

（2014•滨海县模拟）已知抛物线y=ax²-2ax-4与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的对称轴及表达式；
（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=(1)/(2)，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=(1)/(2)，联结BE，试问BE与BC是否垂直？请通过计算说明．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²-2ax-4，
∴与y轴交点C（0，-4）
∴对称轴为直线x=(2a)/(2a)=1，
∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12，∴AB=6，
∴点A（-2，0），B（4，0），
∵抛物线过点A，
∴0=4a+4a-4，∴a=(1)/(2)，
∴抛物线表达式为y=(1)/(2)x²-x-4；

（2）如图，过P作PH⊥x轴于点H．
∵tan∠PAB=(1)/(2)，
∴设PH=k，AH=2k，
∴P点的坐标是（2k-2，k）（k＞0）．
∵点P在抛物线上，
∴k=(1)/(2)（2k-2）²-（2k-2）-4，
∴k=(7)/(2)，
∴P（5，(7)/(2)）；

（3）是．
证明：设AE交y轴于点D，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴tan∠ACO=(1)/(2)，
∵tan∠PAB=(1)/(2)，
∴∠PAB=∠ACO，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠PAB+∠OAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵tan∠BCE=(1)/(2)，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠ACE=∠OCB
∵B（4，0），C（0，-4），
∴∠OCB=45°，∠ACE=45°，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴AO=2，OC=4，
∴AC=2√(5)，
∴CE=2√(10)，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴BC=4√(2)
在△AOC和△EBC中，(AC)/(OC)=(2√(5))/(4)=(√(5))/(2)，(CE)/(CB)=(2√(10))/(4√(2))=(√(5))/(2)，
∴(AC)/(OC)=(CE)/(CB)，
又∠ACO=∠BCE，
∴△AOC∽△EBC，
∴∠EBC=∠AOC=90°，
∴BE⊥BC．