已知：关于x的函数y=kx2+k2x-2的图象与y轴交于点C，（1）当k=-2时，求图象与x轴的公共点个数；（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．（3）若k≥1时函数y随着x的

Question

已知：关于x的函数y=kx²+k²x-2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=-2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若k≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．

Answer 1

解 （1）方法一：当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2，
∵b²-4ac=4²-4×（-2）×（-2）=0
∴图象与x轴公共点只有一个．
方法二：当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2，
令y=0，则-2x²+4x-2=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴图象与x轴公共点只有一个；

（2）当△AOC是等腰三角形时，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2
∴点A的坐标为（2，0）或（-2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-1+√(2)，k₁=-1-√(2)，
把x=-2，y=0代入解析式 得-2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-k₁=1．
∴k的值为-1+√(2)或-1-√(2)或1；

（3）由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，
∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，
∴-(k2)/(2k)≤1，即−(k)/(2)≤1．
解不等式组

k＜0

−(k)/(2)≤1

，
解得-2≤k＜0．