（2014•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的

Question

（2014•潍坊）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点C（0，4），
∴c=4 ①．
∵对称轴x=-(b)/(2a)=1，
∴b=-2a ②．
∵抛物线过点A（-2，0），
∴0=4a-2b+c ③，
由①②③解得，a=-(1)/(2)，b=1，c=4，
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x²+x+4；

（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，-(1)/(2)t²+t+4），其中0＜t＜4，
则FH=-(1)/(2)t²+t+4，FG=t，
∴S_△OBF=(1)/(2)OB•FH=(1)/(2)×4×（-(1)/(2)t²+t+4）=-t²+2t+8，
S_△OFC=(1)/(2)OC•FG=(1)/(2)×4×t=2t，
∴S_{四边形ABFC}=S_△AOC+S_△OBF+S_△OFC=4-t²+2t+8+2t=-t²+4t+12．
令-t²+4t+12=17，
即t²-4t+5=0，
则△=（-4）²-4×5=-4＜0，
∴方程t²-4t+5=0无解，
故不存在满足条件的点F；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴

n＝4

4k+n＝0

，
解得

k＝−1

n＝4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4．
由y=-(1)/(2)x²+x+4=-

作业帮用户 2016-11-28

问题解析

（1）先把C（0，4）代入y=ax²+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=-

(1)/(2)(b)/(2a)=1，得到b=-2a②，抛物线过点A（-2，0），得到0=4a-2b+c③，然后由①②③可解得，a=-(1)/(2)，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x²+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，-(1)/(2)t²+t+4），则FH=-(1)/(2)t²+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出S_△OBF=(1)/(2)OB•FH=-t²+2t+8，S_△OFC=(1)/(2)OC•FG=2t，再由S_{四边形ABFC}=S_△AOC+S_△OBF+S_△OFC，得到S_{四边形ABFC}=-t²+4t+12．令-t²+4t+12=17，即t²-4t+5=0，由△=（-4）²-4×5=-4＜0，得出方程t²-4t+5=0无解，即不存在满足条件的点F；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+4，再求出抛物线y=-(1)/(2)x²+x+4的顶点D（1，(9)/(2)），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE=(9)/(2)-3=(3)/(2)．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-(1)/(2)m²+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ=（-(1)/(2)m²+m+4）-（-m+4）=-(1)/(2)m²+2m，解方程-(1)/(2)m²+2m=(3)/(2)，求出m的值，得到P₁（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ=（-m+4）-（-(1)/(2)m²+m+4）=(1)/(2)m²-2m，解方程(1)/(2)m²-2m=(3)/(2)，求出m的值，得到P₂（2+√(7)，2-√(7)），P₃（2-√(7)，2+√(7)）．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定．

考点点评：

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

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