设抛物线y2=4x的焦点为F，A，B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF|=32，则M点的横坐标为．

Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，A，B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF|= (3)/(2)，则M点的横坐标为___．

Answer 1

∵抛物线方程为y²=4x，
∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)，x₁x₂=1，
∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，
∴设P的坐标为（x₀，y₀），可得y₀=(1)/(2)（y₁+y₂），
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=k•(2k2+4)/(k2)-2k=(4)/(k)，
得到y₀=(2)/(k)，所以x₀=(1)/(k2)，可得M（(2)/(k)，(1)/(k2)）．
∵|PF|=(3)/(2)，
∴√((1-(1)/(k2))2+(4)/(k2))=(3)/(2)，解之得k²=2，
因此x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)=4，
∴M点的横坐标为(1)/(2)（x₁+x₂）=2，
故答案为：2