已知过抛物线y^2＝2px(p>0)的焦点F作一条直线与抛物线交于A、B两点,以线段AB为直径的圆与直线x＝-1相切,求该抛物线的方程.

Question

已知过抛物线y^2＝2px(p>0)的焦点F作一条直线与抛物线交于A、B两点,以线段AB为直径的圆与直线x＝-1相切,求该抛物线的方程.

Answer 1

答：
抛物线y^2=2px
焦点F(p/2,0）,准线x=-p/2<0
设圆心为C（m,n),交点A（x1,0）,B（x2,0）
则2m=x1+x2,圆C的半径R=AB/2
因为：
x1-(-p/2)=AF
x2-(-p/2)=BF
所以：
AB=AF+BF=x1+x2+p
所以：AB=2m+p,R=AB/2=m+p/2
因为：圆C与直线x=-1相切
所以：R=m-(-1)=m+1
所以：R=m+p/2=m+1
所以：p/2=1
解得：p=2
所以：抛物线方程为y^2=4x