在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2经过点A（x1，y1）、C（x2，y2），其中x1、x2是方程x2-2x-8的两根，且x1<x2，过点A的直线l与抛物线只有一个公共点（1）求A、C两点的坐标；（2）求直线l的解

Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=(1)/(2)x²经过点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），其中x₁、x₂是方程x²-2x-8的两根，且x₁<x₂，过点A的直线l与抛物线只有一个公共点
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求直线l的解析式；
（3）如图2，点B是线段AC上的动点，若过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，过点E作DC的平行线EF与直线AC相交于点F，求BF的长．

Answer 1

（1）∵x₁、x₂是方程x²-2x-8的两根，且x₁2，
∴x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，2），C（4，8）；

（2）设直线l的解析式为y=kx+b，
∵A（-2，2）在直线l上，
∴2=-2k+b，
∴b=2k+2，
∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①，
∵抛物线y=(1)/(2)x²②，
联立①②化简得，x²-2kx-4k-4=0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴△=（2k）²-4（-4k-4）=4k²+16k+16=4（k²+4k+4）=4（k+2）²=0，
∴k=-2，
∴b=2k+2=-2，
∴直线l的解析式为y=-2x-2；

（3）由（1）知，A（-2，2），C（4，8），
∴直线AC的解析式为y=x+4，
设点B（m，m+4），
∵（4.8），
∴BC=√(2)|m-4|=√(2)（4-m）
∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，
∴D（m，(1)/(2)m²），E（m，-2m-2），
∴BD=m+4-(1)/(2)m²，BE=m+4-（-2m-2）=3m+6，
∵DC∥EF，
∴△BDC∽△BEF，
∴(BD)/(BE)=(BC)/(BF)，
∴(m+4-(1)/(2)m2)/(3m+6)=(√(2)(4-m))/(BF)，
∴BF=6√(2)．