如图，抛物线y=ax2-32x-2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若

Question

如图，抛物线y=ax²-(3)/(2)x-2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a-(3)/(2)×4-2，即：a=(1)/(2)；
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，
又∵OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（1.5，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=x-2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x²-x-2，即：x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=4；
∴直线l：y=x-4．
由于S_△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

y=(1)/(2)x2-(3)/(2)x-2

y=(1)/(2)x-4

，
解得：

x=2

y=-3

，
即M（2，-3）．