已知AB是抛物线y2=2Px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求证y1y2=-p2，x1x2=p24；（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：1m+1n＝2p．

Question

已知AB是抛物线y²=2Px的任意一条焦点弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求证y₁y₂=-p²，x₁x₂=(p2)/(4)；
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：(1)/(m)+(1)/(n)＝(2)/(p)．

Answer 1

证明（1）：因为抛物线y²=2px的焦点为（(p)/(2)，0）所以过焦点的弦为y=k（x-(p)/(2)），即x=(y)/(k)+(p)/(2)
与y²=2px联立有：y²-(2py)/(k)-p²=0，所以y₁y₂=-p²
同理可得x₁x₂=(p2)/(4)
当直线斜率不存在时，结论也成立．
原式得证．
（2）：①设AB：y=k（x-(p)/(2)），直线方程与抛物线方程联立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+(k2p2)/(4)=0．
∴x₁+x₂=(k2p+2p)/(k2)．
又由抛物线定义可得
m+n=x₁+x₂+p=(2k2p+2p)/(k2)=(2p(k2+1))/(k2)，
m•n=（x₁+(p)/(2)）（x₂+(p)/(2)）=(p2(k2+1))/(k2)，
∴(1)/(m)+(1)/(n)=(m+n)/(mn)=(2)/(p)．
②若k不存在，则AB方程为x=-(p)/(2)，显然符合本题．
综合①②有(1)/(m)+(1)/(n)＝(2)/(p)．