已知△ABC三内角满足cos(A+B)cos(A-B)=1-5sinC的平方1）证明a^2+b^2=5c^22）求cosC的最小值

Question

已知△ABC三内角满足cos(A+B)cos(A-B)=1-5sinC的平方
1）证明a^2+b^2=5c^2
2）求cosC的最小值

Answer 1

（1）证明：已知cos(A+B)cos(A-B)=1-5sin²C,那么：
(1/2)*[cos(2A)+cos(2B)]=1-5sin²C
(1/2)*（1-2sin²A+1-2sin²B)=1-5sin²C
1-sin²A-sin²B=1-5sin²C
即sin²A+sin²B=5sin²C
由正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC,
则证得：a²+b²=5c²
由余弦定理有：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
由（1）知：a²+b²=5c²,那么：
cosC=[a²+b²-(a²+b²)/5]/(2ab)=(2/5)*(a²+b²)/(2ab)
又由均值定理可得：a²+b²≥2ab （当且仅当a=b时取等号）
所以可得：cosC≥2/5