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已知△ABC三内角满足cos(A+B)cos(A-B)=1-5sinC的平方1)证明a^2+b^2=5c^22)求cosC的最小值
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已知△ABC三内角满足cos(A+B)cos(A-B)=1-5sinC的平方
1)证明a^2+b^2=5c^2
2)求cosC的最小值
1)证明a^2+b^2=5c^2
2)求cosC的最小值
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:已知cos(A+B)cos(A-B)=1-5sin²C,那么:
(1/2)*[cos(2A)+cos(2B)]=1-5sin²C
(1/2)*(1-2sin²A+1-2sin²B)=1-5sin²C
1-sin²A-sin²B=1-5sin²C
即sin²A+sin²B=5sin²C
由正弦定理有:a/sinA=b/sinB=c/sinC,
则证得:a²+b²=5c²
由余弦定理有:cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
由(1)知:a²+b²=5c²,那么:
cosC=[a²+b²-(a²+b²)/5]/(2ab)=(2/5)*(a²+b²)/(2ab)
又由均值定理可得:a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时取等号)
所以可得:cosC≥2/5
(1/2)*[cos(2A)+cos(2B)]=1-5sin²C
(1/2)*(1-2sin²A+1-2sin²B)=1-5sin²C
1-sin²A-sin²B=1-5sin²C
即sin²A+sin²B=5sin²C
由正弦定理有:a/sinA=b/sinB=c/sinC,
则证得:a²+b²=5c²
由余弦定理有:cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
由(1)知:a²+b²=5c²,那么:
cosC=[a²+b²-(a²+b²)/5]/(2ab)=(2/5)*(a²+b²)/(2ab)
又由均值定理可得:a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时取等号)
所以可得:cosC≥2/5
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