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如图1,已知等腰△ABC中AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F(1)若AF=10,DF=3,试求EF的长;(2)若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不改变,请用
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如图1,已知等腰△ABC中AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F
(1)若AF=10,DF=3,试求EF的长;
(2)若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不改变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),并直接写出EF、AF、DF三者的数量关系___.
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(1)若AF=10,DF=3,试求EF的长;
(2)若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不改变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),并直接写出EF、AF、DF三者的数量关系___.
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▼优质解答
答案和解析
(1)连接BF,在FE上截取FH=BF,连接BH,
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∵AB=AC,AD是BC中线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
∵
,
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AB=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH为等边三角形,∠BFC=120°,
∴∠FBH=∠EBA=60°,FC=
=6,
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
∵
,
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF=10,
∴EF=EH+HF=AF+FC=16;
(2)AF=2DF+EF,
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∵△ABE为等边三角形,AB=AC,
∴AE=AB=AC,
设∠BAD=∠CAD=α,∠ACE=∠AEC=β,
∴∠CAE=180°-2β,
∴∠BAE=2α+180-2β=60°,
∴∠BAD=∠BEF,
在AF上截取AG=EF,连接BG、BF,
在△ABG和△EBF中,
∵
,
∴△ABG≌△EBF(SAS),
∴AG=EF,BG=BF,
∴△BFG为等边三角形,
∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF,
故答案为:AF=2DF+EF.
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∵AB=AC,AD是BC中线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
∵
|
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AB=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH为等边三角形,∠BFC=120°,
∴∠FBH=∠EBA=60°,FC=
DF |
cos∠DFC |
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
∵
|
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF=10,
∴EF=EH+HF=AF+FC=16;
(2)AF=2DF+EF,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_f009920eb4f2b7a7dc8d93f8725504f8.jpg)
∵△ABE为等边三角形,AB=AC,
∴AE=AB=AC,
设∠BAD=∠CAD=α,∠ACE=∠AEC=β,
∴∠CAE=180°-2β,
∴∠BAE=2α+180-2β=60°,
∴∠BAD=∠BEF,
在AF上截取AG=EF,连接BG、BF,
在△ABG和△EBF中,
∵
|
∴△ABG≌△EBF(SAS),
∴AG=EF,BG=BF,
∴△BFG为等边三角形,
∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF,
故答案为:AF=2DF+EF.
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