如图1，已知等腰△ABC中AB=AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F（1）若AF=10，DF=3，试求EF的长；（2）若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用

Question

如图1，已知等腰△ABC中AB=AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F
（1）若AF=10，DF=3，试求EF的长；
（2）若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），并直接写出EF、AF、DF三者的数量关系___．

Answer 1

（1）连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，

∵AB=AC，AD是BC中线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
∵

AB=AC

∠BAD=∠CAD

AF=AF

，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AB=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠BFH=∠EAB=60°，
∴△BFH为等边三角形，∠BFC=120°，
∴∠FBH=∠EBA=60°，FC=(DF)/(cos∠DFC)=6，
∴∠ABF=∠EBH，
在△EBH和△ABF中，
∵

EB=AB

∠ABF=∠EBH

HB=FB

，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF=10，
∴EF=EH+HF=AF+FC=16；

（2）AF=2DF+EF，

∵△ABE为等边三角形，AB=AC，
∴AE=AB=AC，
设∠BAD=∠CAD=α，∠ACE=∠AEC=β，
∴∠CAE=180°-2β，
∴∠BAE=2α+180-2β=60°，
∴∠BAD=∠BEF，
在AF上截取AG=EF，连接BG、BF，
 在△ABG和△EBF中，
∵

AB=EB

∠BAG=∠BEF

AG=EF

，
∴△ABG≌△EBF（SAS），
∴AG=EF，BG=BF，
∴△BFG为等边三角形，
∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF，
故答案为：AF=2DF+EF．