如图所示，已知正方形ABCD边长为4，点M、N分别在边BC、CD上（点M、N都不与点B、C、D重合），且AM⊥MN．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）求证：△AMN不可能是等腰直角三角形；（3）探究：当B

Question

如图所示，已知正方形ABCD边长为4，点M、N分别在边BC、CD上（点M、N都不与点B、C、D重合），且AM⊥MN．
（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）求证：△AMN不可能是等腰直角三角形；
（3）探究：当BM取何值时，以A，M，N为顶点的三角形与△ABM相似？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）证明：若△AMN是等腰直角三角形时，AM=MN．
∵由（1）知，Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴(AM)/(MN)=(AB)/(MC)=1，
∴AB=MC，
∴点M与点B重合，点N与点C重合，这与已知条件“点M、N都不与点B、C、D重合”相矛盾，
∴△AMN不可能是等腰直角三角形；

（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有(AB)/(AM)=(BM)/(MN)，即(AB)/(BM)=(AM)/(MN)，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴(AM)/(MN)=(AB)/(MC)，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时BM=2．