已知在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（2，1），P（2，4），点Q是y轴上的一动点，连接PQ，作QR⊥PQ交x轴于点R，当△PQR∽△OAB时，求点R的坐标．

Question

已知在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（2，1），P（2，4），点Q是y轴上的一动点，连接PQ，作QR⊥PQ交x轴于点R，当△PQR∽△OAB时，求点R的坐标．

Answer 1

∵A（2，0），B（2，1），P（2，4），
∴OA=2OB，△AOB是直角三角形，
当△PQR∽△OAB时，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，
如图所示，设Q（0，m），R（n，0），
①当PQ⊥y轴时，Q₁（0，4），R₁（0，0）
PQ₁=2，Q₁R₁=4，
则Q₁R₁=2PQ₁，符合题意；
②当PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂时，可证△PQ₂G∽△Q₂OR₂；
PG=2，OR=|n|，OQ=|m|，GQ=OG-OQ=4-|m|，
则(OR)/(GQ)=(OQ)/(PG)=(QR)/(PQ)=(1)/(2)，
即(|n|)/(4−|m|)=(|m|)/(2)=(1)/(2)，
解得：

m1＝1

n1＝(3)/(2)

，

m2＝−1

n2＝−(5)/(2)

，
∴Q₂（0，1），R₂（(3)/(2)，0），Q₃（0，-1），R₃（-(5)/(2)，0）；
③当PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄时，可证△PQ₄G∽△Q₄OR₄，
PG=2，OR₄=-n，OQ₄=-m，GQ₄=4-m，
则

作业帮用户 2016-12-16 举报

问题解析

根据A、B、P的坐标得出OA=2OB，△AOB是直角三角形，根据△PQR∽△OAB时，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，设Q（0，m），R（n，0），分3种情况①当PQ⊥y轴时，得出PQ₁=2，Q₁R₁=4，Q₁R₁=2PQ₁，符合题意；②当PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂时，可证△PQ₂G∽△Q₂OR₂；根据(OR)/(GQ)=(OQ)/(PG)=(QR)/(PQ)=(1)/(2)，得出(|n|)/(4−|m|)=(|m|)/(2)=(1)/(2)，
求出m、n的值即可，③当PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄时，可证△PQ₄G∽△Q₄OR₄，根据(OQ4)/(PG)=(OR4)/(GQ4)=(Q4R4)/(PQ4)=2，得出(−m)/(2)=(−n)/(4−m)=2，再求出m、n的值即可．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、解方程组、点的坐标等，关键是根据题意画出图形，注意分三种情况讨论．

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