正方形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，过点P作PE⊥BP．（1）如图1，如果PE与BC的延长线交于点E，则有△∽△BCP；（2）如图2，如果PE与AD交于点E．①求证：PEPB=PDBC；②探索：当点P运动到

Question

正方形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，过点P作PE⊥BP．

（1）如图1，如果PE与BC的延长线交于点E，则有△ ___ ∽△BCP；
（2）如图2，如果PE与AD交于点E．
①求证：(PE)/(PB)=(PD)/(BC)；
②探索：当点P运动到何处时，△BPE∽△BCP？并说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PCD=∠PCB=90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠PBC=∠CPE，
∴Rt△BCP∽Rt△BPE∽Rt△PCE，
故答案为△BPE∽△PCE；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠D=90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠EPD=∠PBC，
∴Rt△PED∽Rt△BPC，
∴(PE)/(PB)=(PD)/(BC)；
②当点P运动到DC的中点时，△BPE∽△BCP．理由如下：
∵点P是DC的中点，
∴PD=PC，
由（2）得PE：PB=PD：BC，
∴PE：PB=PC：BC，
∴PE：PC=PB：BC，
∴Rt△BPE∽Rt△BCP．