两道概率密度的题,1.已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/∏（1+x^2）,x∈R,试求随机变量Y=arctanX的概率密度.2.已知A与B相互独立,概率密度函数都是f(x)=e^-x(X>=0),f(x)=0(x

Question

两道概率密度的题,
1.已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/∏（1+x^2）,x∈R,试求随机变量Y=arctanX的概率密度.
2.已知A与B相互独立,概率密度函数都是f(x)=e^-x(X>=0),f(x)=0(x

Answer 1

第一题
解法一：分布函数法
F(y)=P(Y<=y)=P(arctanX<=y)
当y当-π/2<=y当y>=π/2时,F(y)=1
所以f(y)=1/π,-π/2<=y解法二：公式法
x=tany,在-π/2<=yf(y)=1/{π[1+(tany)^2}*x'=1/π*1/(secy)^2*(secy)^2=1/π,
所以
f(y)=1/π,-π/2<=y第二小题
已知A与B相互独立,概率密度函数都是f(x)=e^-x(X>=0),f(x)=0(x<0),求P=min(A,B)的概率密度函数
F(p)=P(P<=p)=P(min(A,B)<=p)
当p<0时,F(p)=0
当p>=0时,F(p)=P(min(A,B)<=p)=1-P(min(A,B)>p)=1-P(A>p)*P(B>p)=1-e^(-2p)
所以f(p)=2e^(-2p),p>=0;f(p)=0,p<0
解毕